Ομάδα Μαθητικού Μαθηματικού Συνεδρίου, Γυμνάσιο Αντιρρίου, Δεκ 2023
Το παρόν πρόγραμμα εμφανίζει την κίνηση δυναμικών συστημάτων που περιγράφονται από μετασχηματισμούς συντεταγμένων της μορφής
\( x_{n+1} = f(x_n, y_n, t_n) \) και \( y_{n+1} = g(x_n, y_n, t_n) \) ή
\( \dot{x} = f(x, y, t) \) και \( \dot{y} = g(x, y, t) \) (χρονικοί παράγωγοι) Το αρχικό σύστημα είναι ο ταλαντωτής van der Pol
Το πλήκτρο C (Color) αλλάζει το χρώμα υποβάθρου, το Α (Axis) εξαφανίζει τους άξονες, τα πλήκτρα με τα βέλη μετακινούν αντίστοιχα το παράθυρο θέασης ενώ η ροδέλα στο ποντίκι αλλάζει το zoom. Ο συνδιασμός Alt-Q δημιουργεί σωματίδια σε όλη την οθόνη. Για να εισάγουμε σημεία κάνουμε κλικ κάπου στην οθόνη (οι συντεταγνένες είναι οι αρχικές συνθήκες x,y για τους υπολογισμούς) ή σέρνουμε το ποντίκι κρατώντας πατημένο το αριστερό πλήκτρο.
Χρησιμοποιούνται οι βιβλιοθήκες: mathjs για ερμηνεία των συναρτήσεων που γράφουμε (parser) και MathJax για την εμφάνιση \( \LaTeX \) των μαθηματικών.
(c) Ομάδα Μαθητικού Μαθηματικού Συνεδρίου Αντιρρίου, 2023. Ελεύθερο και Ανοιχτού Κώδικα Λογισμικό. Άδεια χρήσης GNU GPLv3
Πολλά δυναμικά συστήματα (ή διακριτοί μετασχηματισμοί) έχουν σταθερές τροχιές ενώ κάποια άλλα παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά και παράξενους ελκυστές (strange attractors) για κάποιες περιοχές των παραμέτρων. Αν και σε αυτόνομα συνεχή δυναμικά συστήματα δύο διαστάσεων δεν εμφανίζεται πραγματικό χάος, (Poincaré-Bendixson Theorem), μερικά από αυτά εμφανίζουν μεγάλη πολυπλοκότητα σε σημείο να μοιάζουν σχεδόν χαοτικά. Οι διακριτοί μετασχηματισμοί όμως εμφανίζουν πραγματικό (μαθηματικό) χάος ακόμα και σε μία διασταση. Μερικά από αυτά είναι τα παρακάτω:
Ο αρμονικός ταλαντωτής με εξισώσεις \( \dot{x} = v \) και \( \dot{v} = -Ax\) (όπου \(A, B, \dots \) σταθερές) και η εκδοχή του με απόσβεση, όπου προσθέτουμε στη δεύτερη εξίσωση όρο της μορφής \(-By\), αλλά και η εξαναγκασμένη εκδοχή του, όπου στην δεύτερη εξίσωση προσθέτουμε και τον όρο \( - A\cos(\omega t) \). Εδώ το \(v\) αντιστοιχεί προφανώς στην \(y\) συντεταγμένη. Ο ταλαντωτής van der Pol με εξισώσεις \( \dot{x} = v \) και \( \dot{v} = \mu(1-x^2)v - v \) και η εξαναγκασμένη εκδοχή του, όπου στην δεύτερη εξίσωση προσθέτουμε και τον όρο \( - A\cos(\omega t) \). Ο μετασχηματισμός Henon (Henon map) παρουσιάζει παράξενο ελκυστή. Εξισώσεις: \( x_{n+1} = 1 - Ax_n^2 + y_n \) και \( y_{n+1} = Bx_n \) με \( A=1.4, \, B=0.3\). Ο μετασχηματισμός Duffing με εξισώσεις \( x_{n+1} = y_n \) και \( y_{n+1} = -Ax_n + By_n - y_n^3 \) με \( A=0.2, \, B=2.75\). Ο μετασχηματισμός Gingerbread με εξισώσεις \( x_{n+1} = 1 - y_n + |x_n| \) και \( y_{n+1} = x_n \). Ο μετασχηματισμός Ikeda με εξισώσεις \( x_{n+1} = 1 + A(x_n\cos(c_n) - y_n\sin(c_n)) \) και \( y_{n+1} = A(x_n\sin(c_n) + y_n\sin(c_n)) \), με \( c_n = 0.4 - \frac{6}{1 + x_n^2 + y_n^2} \). Για \( A \geq 0.6 \) έχει παράξενο ελκυστή. Ο μετασχηματισμός Tinkerbell με εξισώσεις \( x_{n+1} =x_n^2 - y_n^2 + Ax_n + By_n \) και \( y_{n+1} = 2x_ny_n + Cx_n + Dy_n \), με \( A = 0.9 \), \(B = -0.6013\), \(C=2\) και \(D=0.5\). O Μετασχηματιμός Lorenz σε δύο διαστάσεις: \( x_{n+1} = (1+ab)x_n - bx_ny_n \) και \( y_{n+1} = (1-b)y_n + bx_n^2 \) με \(a = 1.05, \, b=0.75\) Το σύστημα Dixon με εξισώσεις \( \dot{x} = \frac{xy}{x^2+y^2} - ax \) και \( \dot{y} = \frac{y^2}{x^2+y^2} - by + b - 1 \) εμφανίζει "σχεδόν χάος" για \( 0 < a , b < 1 \). Μία παραλαγή του συστήματος Dixon από τους Rahman et al με εξισώσεις \( \dot{x} = \frac{xy}{x^2 + y^2} \) και \( \dot{y} = \frac{y^2}{x^2 + y^2} -ay - b|x| \) με \(a = b = 10\).